Chap 04_1. SOP 형태 / POS 형태 / 논리회로 단순화 / 대수적 단순화 / 조합 논리회로 / Karnauph map(K-map)

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1. Sum - Of - Products(SOP) 형태

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• Sum - Of - Products(SOP): 곱의 합 형태(AND 연산된 항들을 OR연산을 통해 표현)
  • SOP 예시

 

• Products - Of - Sums(POS): 합의 곱 형태(OR 연산된 항들을 AND연산을 통해 표현)
  • POS 예시

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2. 논리회로의 단순화

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• 논리회로의 단순화: 전파지연을 줄여 회로의 동작속도 향상
• Boolean algebra와 Karnaugh mapping을 통해 단순화 가능
• 단순화 예시

좌측 논리회로의 결과값을 통해 우측 회로로 변환 가능

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3. 대수적 단순화(Algebraic Simplification)

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1. DeMorgan의 정리를 이용하여 원래의 표현식을 SOP형식으로 표현
2. SOP형식에서 공통인수를 찾아내어 1개 이상의 항을 소거

• Algebraic Simplification 예시

좌측 회로를 우측 회로로 단순화하기 위환 과정

 

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4. 조합 논리회로 구성(Designing Combinational Logic Circuits)

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• 논리 설계 문제를 풀기 위한 방법
  1. 진리표 작성
  2. 출력이 1인 경우 AND항 작성
  3. 출력에 대한 SOP형태의 논리식 작성
  4. 출력식 간략화
  5. 최종 표현식의 회로 구현
• 3-Input 회로의 진리표

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5. Karnaugh Map Method (카르노 맵, K-map)

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• 논리식 또는 진리표를 시각적으로 간략화하는 방법
• 이론적으로 입력변수의 개수에 관계없이 사용 가능하나 실제로는 5~6개 변수에 사용
• Input이 n개일 때 K map에서는 2^n개의 칸을 갖는 표로 표현 가능
• 2개 변수의 K-map -> 2^2 = 4개의 칸으로 표현

  

  수평과 수직으로 인접한 칸끼리는 한개의 변수만 다름

• 3개  변수의 K-map -> 2^3 = 8개의 칸으로 표현

  

  수평과 수직으로 인접한 칸끼리는 한개의 변수만 다름

• 4개  변수의 K-map -> 2^4 = 16개의 칸으로 표현

수평과 수직으로 인접한 칸끼리는 한개의 변수만 다름

• 추가적인 단순화를 위해 인접한 1을 2개, 4개, 8개씩 그룹화 가능
  (대각선으로는 묶음 불가. 위, 양 옆, 아래로 인접한 1을 묶을 수 있음)
  • 2개씩 묶는 경우

    

    Input과 Input의 Inversion이 모두 더해지면 해당 변수는 사라짐

  • 4개씩 묶는 경우

    

    Input과 Input의 Inversion이 모두 더해지면 해당 변수는 사라짐

  • 8개씩 묶는 경우

    

• K-map을 이용한 논리연산 단순화 과정
  1. 진리표의 출력 값이 1에 대응하는 곳에 1 입력
  2. 다른 1과 이웃하지 않는 1은 고립된 1
  3. 2개의 이웃한 1은 서로 묶음
  4. 8개의 이웃한 1을 찾아 묶음. 다른 고리에 묶인 1이 있어도 묶음 가능
  5. 4개의 이웃한 1을 찾아 묶음
  6. 고리에 묶이지 않은 1이 있으면 1을 포함하도록 묶음. 고리가 최소가 되도록
  7. 각 고리에서 만들어진 항을 합(OR)으로 표현
• Don't care condition(무정의 조건, x)
  • 특정 input에 대해 output이 정해지지 않은 경우 사용 
  • don't care 상태를 표현하기 위해 'x' 사용
  • x는 0과 1이 모두 될 수 있으므로 식을 가장 단순화하기 위해 1을 최대한 묶을 수 있도록 x 설정

    

    위쪽 x는 1과 묶을 수 없으므로 0, 아래는 묶을 수 있으므로 1로 설정